3. Докажите, что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата.

Пусть ABCD — квадрат, а M, N, P, Q — середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника MN ∥ AC и MN = AC/2.
2. Аналогично, NP ∥ BD и NP = BD/2. Так как диагонали квадрата равны, AC = BD, следовательно, MN = NP.
3. Диагонали квадрата перпендикулярны: AC ⟂ BD. Поэтому MN ⟂ NP.
4. Таким же образом устанавливается, что все стороны четырёхугольника MNPQ равны, а каждый его угол прямой.

Следовательно, MNPQ — квадрат.