3. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Пусть ABCD — прямоугольник, а M, N, P, Q — середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

По теореме о средней линии треугольника:

• в треугольнике ABC: MN = AC/2;
• в треугольнике BCD: NP = BD/2;
• в треугольнике CDA: PQ = AC/2;
• в треугольнике DAB: QM = BD/2.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD. Поэтому MN = NP = PQ = QM. Четырёхугольник, у которого все стороны равны, — ромб.

Что и требовалось доказать.