3. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть \(ABCD\) — ромб, а \(M, N, P, Q\) — середины сторон \(AB, BC, CD, DA\) соответственно.

1. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\), соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне: \(MN\parallel AC\).
2. В треугольнике \(BCD\) аналогично \(NP\parallel BD\).
3. Так же получаем \(PQ\parallel AC\) и \(QM\parallel BD\). Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника \(MNPQ\) параллельны, то есть это параллелограмм.
4. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: \(AC\perp BD\). Поэтому \(MN\perp NP\), так как эти отрезки параллельны соответственно \(AC\) и \(BD\).
5. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.