3. Докажите тождество: а) $\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=\sin\beta\cos\alpha$; б) $\cos(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta$; в) $\frac{ g\alpha+ g\beta}{ g(\alpha+\beta)}+\frac{ g\alpha- g\beta}{ g(\alpha-\beta)}=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: а) $\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=\sin\beta\cos\alpha$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Используем формулы сложения и чётность косинуса, нечётность синуса:

$\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin\beta\cos\alpha.$

б) Применяем формулы сложения и свойства чётности и нечётности:

$\cos(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta.$

в) Обозначим $u= g\alpha$, $v= g\beta$. По формулам тангенса суммы и разности:

$ g(\alpha+\beta)=\frac{u+v}{1-uv}$, поэтому $\frac{u+v}{ g(\alpha+\beta)}=1-uv.$

Аналогично, $ g(\alpha-\beta)=\frac{u-v}{1+uv}$, поэтому $\frac{u-v}{ g(\alpha-\beta)}=1+uv.$

Следовательно, сумма равна $(1-uv)+(1+uv)=2$. Тождество верно при всех значениях, для которых исходные выражения определены.

3. Докажите тождество: а) \(\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos(-\beta)=\sin\beta\cos\alpha\); б) \(\cos(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta\); в) \(\frac{ g\alpha+ g\beta}{ g(\alpha+\beta)}+\frac{ g\alpha- g\beta}{ g(\alpha-\beta)}=2\).