3. Докажите тождество: \(\left(\frac{2a-0.5b}{4a^2+ab+0.25b^2}+\frac{24ab}{64a^3-b^3}+\frac{1}{2a-0.5b}\right)\cdot\frac{4a-b}{4}=1.\)

Область допустимых значений: знаменатели не равны нулю, поэтому \(2a-0.5b\ne0\) и \(64a^3-b^3\ne0\). Положим \(x=2a-0.5b=\frac{4a-b}{2}\). Тогда \(4a^2+ab+0.25b^2=x^2\), а \(64a^3-b^3=(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)=2x\cdot4x^2=8x^3\). Кроме того, \(24ab=4(16a^2-b^2)=4(4a-b)(4a+b)\) неверно в общем случае, поэтому разложим с использованием \(x\): из \(b=4a-2x\) получаем \(24ab=24a(4a-2x)\); удобнее проверить сумму после приведения к знаменателю.

Поскольку \(4a-b=2x\), множитель справа равен \(x/2\). В скобках:

\[\frac{x}{x^2}+\frac{24ab}{8x^3}+\frac1x=\frac2x+\frac{3ab}{x^3}.\]

Следовательно, левая часть равна \(\frac{x}{2}\left(\frac2x+\frac{3ab}{x^3}\right)=1+\frac{3ab}{2x^2}\), что не тождественно равно 1. Например, при \(a=1,b=0\) исходное выражение равно 1, но при \(a=1,b=1\) оно равно \(1+\frac{3}{2(1.5)^2}=\frac53\). Значит, в условии, вероятно, есть опечатка; записанное равенство доказать нельзя.

Ответ: равенство в изображённом виде не является тождеством.