3. Докажите тождество $\left(\frac{a}{a^2-2a+1}-\frac{a+4}{a^2-1}\right):\frac{a-2}{a^2-1}=\frac{2}{1-a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество $\left(\frac{a}{a^2-2a+1}-\frac{a+4}{a^2-1}\right):\frac{a-2}{a^2-1}=\frac{2}{1-a}$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: знаменатели должны быть ненулевыми, а делитель — отличным от нуля. Поэтому $a\ne1$, $a\ne-1$, $a\ne2$.

Разложим знаменатели на множители:

$a^2-2a+1=(a-1)^2$, $a^2-1=(a-1)(a+1)$.

Вычислим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{a}{(a-1)^2}-\frac{a+4}{(a-1)(a+1)}=\frac{a(a+1)-(a+4)(a-1)}{(a-1)^2(a+1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$a(a+1)-(a+4)(a-1)=a^2+a-(a^2+3a-4)=4-2a=-2(a-2)$.

Подставим результат и разделим на дробь, умножив на обратную:

$\left(\frac{-2(a-2)}{(a-1)^2(a+1)}\right):\frac{a-2}{(a-1)(a+1)}=\frac{-2(a-2)}{(a-1)^2(a+1)}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a-2}$.

Сократим общие множители, допустимые по ОДЗ:

$\frac{-2}{a-1}=\frac{2}{1-a}$.

Ответ: тождество доказано при $a\ne-1,1,2$.

3. Докажите тождество \(\left(\frac{a}{a^2-2a+1}-\frac{a+4}{a^2-1}\right):\frac{a-2}{a^2-1}=\frac{2}{1-a}\).