№3. Движение по реке вдогонку а) Наша Таня громко плачет, поскольку уронила в речку мячик. Но проплакав 2 минуты, Таня поплыла за мячиком и через 2 минуты догнала его. С какой скоростью плыла Таня, если скорость течения реки равна 35 м/мин?

Решение:

Обозначим скорость Тани относительно воды как \( v_T \), а скорость течения реки как \( v_R \). Скорость мячика относительно берега равна скорости течения реки, так как он плывет по течению, \( v_M = v_R = 35 \text{ м/мин} \).

Таня плыла за мячиком 2 минуты, пока тот уплывал. За это время мячик уплыл на расстояние:

\[ S_{мяча} = v_M \cdot t_{уплывания} = 35 \text{ м/мин} \cdot 2 \text{ мин} = 70 \text{ м} \]

После этого Таня поплыла за мячиком. Скорость Тани против течения равна \( v_T - v_R \), а скорость мячика по течению равна \( v_R \). Относительно берега скорость Тани равна \( v_T - v_R \), а скорость мячика равна \( v_R \).

За 2 минуты Таня догнала мячик. За это время Таня проплыла расстояние \( v_T \cdot 2 \) против течения. За это же время мячик проплыл расстояние \( v_R \cdot 2 \) по течению.

Когда Таня догнала мячик, она проплыла расстояние, равное расстоянию, которое проплыл мячик за все время (2 минуты от падения до начала движения Тани + 2 минуты, пока Таня ее догоняла), плюс расстояние, которое мячик уплыл за первые 2 минуты, пока Таня плакала.

Расстояние, которое проплыла Таня против течения за 2 минуты: \( (v_T - v_R) \cdot 2 \).

Расстояние, которое проплыл мячик за 2 минуты, пока Таня его догоняла: \( v_R \cdot 2 \).

Когда Таня догнала мячик, пройденный ею путь против течения равен пути, пройденному мячиком по течению за время погони, плюс начальное расстояние, которое мячик уплыл, пока Таня плакала.

\[ (v_T - v_R) \cdot 2 = v_R \cdot 2 + S_{мяча} \]

\[ (v_T - 35) \cdot 2 = 35 \cdot 2 + 70 \]

\[ 2v_T - 70 = 70 + 70 \]

\[ 2v_T - 70 = 140 \]

\[ 2v_T = 140 + 70 \]

\[ 2v_T = 210 \]

\[ v_T = \frac{210}{2} \]

\[ v_T = 105 \text{ м/мин} \]

Проверка:

Скорость Тани против течения: \( 105 - 35 = 70 \) м/мин.

За 2 минуты Таня проплыла: \( 70 \text{ м/мин} \cdot 2 \text{ мин} = 140 \) м.

Мячик за первые 2 минуты уплыл: \( 35 \text{ м/мин} \cdot 2 \text{ мин} = 70 \) м.

Мячик за следующие 2 минуты плыл по течению: \( 35 \text{ м/мин} \cdot 2 \text{ мин} = 70 \) м.

Общее расстояние, которое проплыл мячик: \( 70 \text{ м} + 70 \text{ м} = 140 \) м.

Таким образом, Таня проплыла 140 м, и мячик проплыл 140 м. Таня догнала мячик.

Ответ: 105 м/мин.