3) \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\), \(x\in[0;2]\)

Функция определена на всём отрезке: знаменатель \(x^2+1\) всегда положителен.

Найдём производную: \(f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\). Она положительна при \(0\le x<1\) и отрицательна при \(1<x\le2\), поэтому функция возрастает до \(x=1\), затем убывает.

Проверим значения в концах отрезка и в точке максимума: \(f(0)=0\), \(f(1)=\frac12\), \(f(2)=\frac25\).

Ответ: область значений на \([0;2]\) — \([0;\frac12]\).