3. f(x)=x³ – х Найдите точки пересечения графика заданной функции с осями координат.

Решение:

Чтобы найти точки пересечения графика функции \( f(x) = x^3 - x \) с осями координат, нужно найти точки, где \( x = 0 \) (пересечение с осью ординат) и где \( f(x) = 0 \) (пересечение с осью абсцисс).

1. Пересечение с осью ординат (ось Y):

Для этого подставим \( x = 0 \) в уравнение функции:

\[ f(0) = (0)^3 - 0 = 0 \]

Таким образом, график пересекает ось Y в точке \( (0, 0) \).

2. Пересечение с осью абсцисс (ось X):

Для этого приравняем функцию к нулю:

\[ x^3 - x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x^2 - 1) = 0 \]

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 1 = 0 \]

Решим второе уравнение:

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Следовательно, точки пересечения с осью X:

• \( x_1 = 0 \)
• \( x_2 = 1 \)
• \( x_3 = -1 \)

Таким образом, график пересекает ось X в точках \( (0, 0) \), \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).

Ответ: Точки пересечения графика функции с осями координат: \( (0, 0) \), \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).