3 (ФИПИ). Имеются 2 сосуда, содержащие 48 и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение:

Пусть \(x_1\) - процентное содержание кислоты в первом растворе, а \(x_2\) - процентное содержание кислоты во втором растворе.

Условие 1: Смешивание всего содержимого сосудов.

Общая масса смешанных растворов: \(48 \text{ кг} + 42 \text{ кг} = 90 \text{ кг}\).

Масса кислоты в первом растворе: \(0.01 × 48 × x_1\) кг.

Масса кислоты во втором растворе: \(0.01 × 42 × x_2\) кг.

Общая масса кислоты в смешанном растворе: \(0.01 × 90 × 42\) кг.

Составим уравнение:

\[ 0.01 × 48 × x_1 + 0.01 × 42 × x_2 = 0.01 × 90 × 42 \]\[ 48 x_1 + 42 x_2 = 90 × 42 \]\[ 48 x_1 + 42 x_2 = 3780 \]

Разделим на 6:

\[ 8 x_1 + 7 x_2 = 630 \quad (1) \]

Условие 2: Смешивание равных масс растворов.

Пусть масса каждого раствора равна \(m\) кг.

Масса кислоты в первом растворе: \(0.01 × m × x_1\) кг.

Масса кислоты во втором растворе: \(0.01 × m × x_2\) кг.

Общая масса смешанных растворов: \(m + m = 2m\) кг.

Общая масса кислоты в смешанном растворе: \(0.01 × 2m × 40\) кг.

Составим уравнение:

\[ 0.01 × m × x_1 + 0.01 × m × x_2 = 0.01 × 2m × 40 \]\[ m x_1 + m x_2 = 2m × 40 \]

Так как \(m
e 0\), можем разделить на \(m\):

\[ x_1 + x_2 = 80 \]

Выразим \(x_1\) из этого уравнения:

\[ x_1 = 80 - x_2 \quad (2) \]

Подстановка и решение системы уравнений.

Подставим выражение (2) в уравнение (1):

\[ 8(80 - x_2) + 7 x_2 = 630 \]\[ 640 - 8 x_2 + 7 x_2 = 630 \]\[ 640 - x_2 = 630 \]\[ x_2 = 640 - 630 \]\[ x_2 = 10 \]

Итак, процентное содержание кислоты во втором растворе равно 10%.

Находим массу кислоты во втором растворе.

Масса второго раствора: 42 кг.

Процентное содержание кислоты: 10%.

Масса кислоты во втором растворе: \(0.10 × 42 \text{ кг} = 4.2 \text{ кг}\).

Проверка:

Найдем \(x_1\): \(x_1 = 80 - x_2 = 80 - 10 = 70\)%.

Первый раствор: 48 кг, 70% кислоты. Масса кислоты: \(0.70 × 48 = 33.6\) кг.

Второй раствор: 42 кг, 10% кислоты. Масса кислоты: \(0.10 × 42 = 4.2\) кг.

Смешивание всего содержимого: Общая масса = \(48+42=90\) кг. Общая масса кислоты = \(33.6 + 4.2 = 37.8\) кг. Концентрация = \(\frac{37.8}{90} × 100\)% = \(42\)%. (Верно)

Смешивание равных масс (например, по 1 кг):

Масса кислоты первого: \(0.70 × 1 = 0.7\) кг.

Масса кислоты второго: \(0.10 × 1 = 0.1\) кг.

Общая масса = \(1+1=2\) кг. Общая масса кислоты = \(0.7 + 0.1 = 0.8\) кг. Концентрация = \(\frac{0.8}{2} × 100\)% = \(40\)%. (Верно)

Ответ: 4.2 кг.