3. Гномы хранят самоцветы в квадратной стене, разделённой на одинаковые квадратные ячейки: шесть рядов по шесть ячеек. 7 самоцветов лежат в своих ячейках в одиночестве. Ещё 12 самоцветов делят ячейку с одним соседом. 9 самоцветов делят ячейку с двумя. 20 — с тремя. Другого количества соседей ни у одного самоцвета нет. Сколько ячеек остались пустыми?

В стене всего \(6 \cdot 6 = 36\) ячеек.

7 самоцветов лежат по одному в ячейке, значит, заняты 7 ячеек.

12 самоцветов делят ячейки с одним соседом: в каждой такой ячейке по 2 самоцвета, поэтому заняты \(12 : 2 = 6\) ячеек.

9 самоцветов делят ячейки с двумя соседями: в каждой ячейке по 3 самоцвета, поэтому заняты \(9 : 3 = 3\) ячейки.

20 самоцветов делят ячейки с тремя соседями: в каждой ячейке по 4 самоцвета, поэтому заняты \(20 : 4 = 5\) ячеек.

Всего занято \(7 + 6 + 3 + 5 = 21\) ячейка. Пустых ячеек: \(36 - 21 = 15\).

Ответ: 15 ячеек.