3. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е так, что АЕ = 3 см, ВЕ = 36 см, CE: DE = 3: 4. Найдите CD и наименьшее значение радиуса этой окружности.

Решение:

1. Нахождение длины CD:

• По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
• AE ⋅ BE = CE ⋅ DE
• Из условия имеем AE = 3 см, BE = 36 см.
• Также дано отношение CE : DE = 3 : 4. Пусть CE = 3x, а DE = 4x.
• Подставим значения в теорему:
• 3 ⋅ 36 = (3x) ⋅ (4x)
• 108 = 12x²
• x² = 108 / 12
• x² = 9
• x = 3 (так как длина отрезка не может быть отрицательной)
• Теперь найдем длины отрезков CE и DE:
• CE = 3x = 3 ⋅ 3 = 9 см
• DE = 4x = 4 ⋅ 3 = 12 см
• Длина хорды CD равна сумме длин отрезков CE и DE:
• CD = CE + DE = 9 + 12 = 21 см

2. Нахождение наименьшего значения радиуса окружности:

• Для того чтобы радиус окружности был наименьшим, хорда AB должна быть диаметром окружности.
• В этом случае AB = AE + BE = 3 + 36 = 39 см.
• Если AB — диаметр, то радиус R = AB / 2 = 39 / 2 = 19.5 см.
• Однако, мы должны также учесть хорду CD = 21 см.
• Наименьшее значение радиуса окружности, в которой проведена хорда, определяется длиной этой хорды.
• Радиус окружности R, в которой проведена хорда длиной L, должен удовлетворять условию:
• L ≤ 2R
• R ≥ L / 2
• Таким образом, для хорды CD = 21 см, минимальный радиус окружности R_min = 21 / 2 = 10.5 см.
• Для хорды AB = 39 см, минимальный радиус окружности R_min = 39 / 2 = 19.5 см.
• Наименьшее значение радиуса всей окружности, в которой одновременно существуют обе хорды, будет определяться большей из этих минимальных длин.
• Следовательно, наименьшее значение радиуса окружности равно 19.5 см.

Ответ: CD = 21 см, наименьшее значение радиуса окружности = 19.5 см.