3. Хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О. Найти длину отрезка ДО и ОС, если АО = 12 см, ОВ=4 см, ДО : ОС = 3 : 4.

Решение:

Дано:

• Хорды AB и CD пересекаются в точке O.
• AO = 12 см
• OB = 4 см
• DO : OC = 3 : 4

Найти:

• Длину отрезков DO и OC

Теорема о пересекающихся хордах:

Если две хорды пересекаются внутри круга, то произведение отрезков каждой хорды равны.

В нашем случае это означает:

$$AO \times OB = DO \times OC$$

Подставим известные значения:

$$12 \text{ см} \times 4 \text{ см} = DO \times OC$$$$48 \text{ см}^2 = DO \times OC$$

Используем соотношение отрезков DO и OC:

Нам дано, что $$DO : OC = 3 : 4$$. Это значит, что мы можем представить длины отрезков как:

• $$DO = 3x$$
• $$OC = 4x$$

где $$x$$ — некоторая неизвестная величина.

Теперь подставим эти выражения в уравнение $$DO \times OC = 48$$:

$$ (3x) \times (4x) = 48 \\ 12x^2 = 48 \\ x^2 = \frac{48}{12} \\ x^2 = 4 \\ x = \sqrt{4} \\ x = 2$$

Найдем длины отрезков DO и OC:

• $$DO = 3x = 3 \times 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$$
• $$OC = 4x = 4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$$

Проверка:

$$DO \times OC = 6 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$$

Это совпадает с $$AO \times OB = 12 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$$.

Ответ: Длина отрезка DO равна 6 см, а длина отрезка OC равна 8 см.