3. Игрушечная пушка закреплена на санках, стоящих на горизонтальном гладком льду. Из ствола пушки вылетает снаряд массой 1 кг. Сразу после выстрела скорость снаряда относительно льда равна 6 м/с и составляет с его поверхностью угол 60°. Какой будет скорость санок сразу после выстрела, если санки (вместе с пушкой, но без снаряда) имеют массу 10 кг? Ответ запишите в метрах за секунду.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Система состоит из санок с пушкой и снаряда. До выстрела импульс системы равен нулю, так как всё покоится.

Обозначим:

• \( m_s \) — масса снаряда, \( m_s = 1 \) кг.
• \( m_{p+c} \) — масса пушки с санками, \( m_{p+c} = 10 \) кг.
• \( \vec{v}_s \) — скорость снаряда относительно льда.
• \( \vec{v}_{p+c} \) — скорость санок с пушкой относительно льда (то, что нужно найти).

Скорость снаряда относительно льда \( \vec{v}_s \) имеет модуль 6 м/с и составляет угол \( \alpha = 60^{\circ} \) с поверхностью льда. Разложим эту скорость на горизонтальную \( v_{sx} \) и вертикальную \( v_{sy} \) составляющие:

• \( v_{sx} = v_s \cos{\alpha} = 6 \cos{60^{\circ}} = 6 \cdot 0.5 = 3 \) м/с.
• \( v_{sy} = v_s \sin{\alpha} = 6 \sin{60^{\circ}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) м/с.

По закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до выстрела равен суммарному импульсу после выстрела:

\( \vec{p}_{до} = \vec{p}_{после} \)

\( \vec{0} = \vec{p}_{снаряда} + \vec{p}_{санок+пушки} \)

\( \vec{0} = m_s \vec{v}_s + m_{p+c} \vec{v}_{p+c} \)

Рассмотрим сохранение импульса по горизонтали (ось X), так как вертикальная составляющая скорости снаряда компенсируется кратковременным отрывом санок от льда (импульс по вертикали не сохраняется из-за силы тяжести и реакции опоры, но мы можем рассматривать импульс только в момент вылета снаряда, где горизонтальные составляющие являются главными для определения скорости санок).

\( 0 = m_s v_{sx} + m_{p+c} v_{p+c, x} \)

Нас интересует скорость санок \( v_{p+c} \). Предполагаем, что санки движутся горизонтально, поэтому \( v_{p+c, x} = v_{p+c} \).

\( 0 = 1 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} + 10 \text{ кг} \cdot v_{p+c} \)

\( 0 = 3 + 10 v_{p+c} \)

\( 10 v_{p+c} = -3 \)

\( v_{p+c} = -0.3 \) м/с.

Знак минус означает, что санки движутся в направлении, противоположном горизонтальной составляющей скорости снаряда.

Ответ: 0.3 м/с.