3. Используя свойства степеней, найдите значение выражения:

1) а) \( 2^8 \cdot (2^3)^2 : 2^{12} \)

Используем свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m : a^n = a^{m-n} \).

1. Применяем свойство степени степени: \( (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \).
2. Подставляем полученное значение в выражение: \( 2^8 \cdot 2^6 : 2^{12} \).
3. Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: \( 2^8 \cdot 2^6 = 2^{8+6} = 2^{14} \).
4. Выполняем деление степеней: \( 2^{14} : 2^{12} = 2^{14-12} = 2^2 \).
5. Вычисляем результат: \( 2^2 = 4 \).

Ответ: 4

1) б) \( 7^{15} : (7^5)^2 : 7^3 \)

1. Применяем свойство степени степени: \( (7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10} \).
2. Подставляем в выражение: \( 7^{15} : 7^{10} : 7^3 \).
3. Выполняем деление степеней последовательно: \( 7^{15} : 7^{10} = 7^{15-10} = 7^5 \).
4. Продолжаем деление: \( 7^5 : 7^3 = 7^{5-3} = 7^2 \).
5. Вычисляем результат: \( 7^2 = 49 \).

Ответ: 49

2) а) \( \frac{16^2}{2^5} \)

1. Представим число 16 как степень двойки: \( 16 = 2^4 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{(2^4)^2}{2^5} \).
3. Применим свойство степени степени: \( (2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8 \).
4. Выражение станет: \( \frac{2^8}{2^5} \).
5. Применим свойство деления степеней: \( 2^8 : 2^5 = 2^{8-5} = 2^3 \).
6. Вычислим результат: \( 2^3 = 8 \).

Ответ: 8

2) б) \( \frac{27^4}{9^5} \)

1. Представим числа 27 и 9 как степени тройки: \( 27 = 3^3 \) и \( 9 = 3^2 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{(3^3)^4}{(3^2)^5} \).
3. Применим свойство степени степени: \( (3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12} \) и \( (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10} \).
4. Выражение станет: \( \frac{3^{12}}{3^{10}} \).
5. Применим свойство деления степеней: \( 3^{12} : 3^{10} = 3^{12-10} = 3^2 \).
6. Вычислим результат: \( 3^2 = 9 \).

Ответ: 9

3) а) \( \frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{21^8} \)

1. Представим 21 как произведение 3 и 7: \( 21 = 3 \cdot 7 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{(3 \cdot 7)^8} \).
3. Применим свойство степени произведения: \( (3 \cdot 7)^8 = 3^8 \cdot 7^8 \).
4. Выражение станет: \( \frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{3^8 \cdot 7^8} \).
5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \( \frac{3^{10}}{3^8} \cdot \frac{7^{10}}{7^8} \).
6. Применим свойство деления степеней: \( 3^{10-8} \cdot 7^{10-8} = 3^2 \cdot 7^2 \).
7. Применим свойство степени произведения: \( 3^2 \cdot 7^2 = (3 \cdot 7)^2 = 21^2 \).
8. Вычислим результат: \( 21^2 = 441 \).

Ответ: 441

3) б) \( \frac{6^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}} \)

1. Представим 6 как произведение 2 и 3: \( 6 = 2 \cdot 3 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{(2 \cdot 3)^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}} \).
3. Применим свойство степени произведения: \( (2 \cdot 3)^{15} = 2^{15} \cdot 3^{15} \).
4. Выражение станет: \( \frac{2^{15} \cdot 3^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}} \).
5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \( \frac{2^{15}}{2^{13}} \cdot \frac{3^{15}}{3^{13}} \).
6. Применим свойство деления степеней: \( 2^{15-13} \cdot 3^{15-13} = 2^2 \cdot 3^2 \).
7. Применим свойство степени произведения: \( 2^2 \cdot 3^2 = (2 \cdot 3)^2 = 6^2 \).
8. Вычислим результат: \( 6^2 = 36 \).

Ответ: 36

2) в) \( \frac{32^3 \cdot 8^2}{16^5} \)

1. Представим числа 32, 8, 16 как степени двойки: \( 32 = 2^5 \), \( 8 = 2^3 \), \( 16 = 2^4 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{(2^5)^3 \cdot (2^3)^2}{(2^4)^5} \).
3. Применим свойство степени степени: \( (2^5)^3 = 2^{15} \), \( (2^3)^2 = 2^6 \), \( (2^4)^5 = 2^{20} \).
4. Выражение станет: \( \frac{2^{15} \cdot 2^6}{2^{20}} \).
5. Применим свойство умножения степеней: \( 2^{15} \cdot 2^6 = 2^{15+6} = 2^{21} \).
6. Выражение станет: \( \frac{2^{21}}{2^{20}} \).
7. Применим свойство деления степеней: \( 2^{21-20} = 2^1 \).
8. Вычислим результат: \( 2^1 = 2 \).

Ответ: 2

3) в) \( \frac{20^{10}}{5^{10} \cdot 4^{10}} \)

1. Применим свойство степени произведения в знаменателе: \( 5^{10} \cdot 4^{10} = (5 \cdot 4)^{10} = 20^{10} \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{20^{10}}{20^{10}} \).
3. Любое число, делённое само на себя, равно 1.

Ответ: 1