3. Используя свойства степеней, найдите значение выражения: 1) а) \(3^7\cdot(3^2)^3:3^{10}\); б) \(5^{20}:(5^2)^5:5^8\). 2) а) \(\frac{9^4}{3^7}\); б) \(\frac{8^5}{4^6}\); в) \(\frac{27^2\cdot9^4}{81^2}\). 3) а) \(\frac{10^{12}}{2^6\cdot5^6}\); б) \(\frac{5^{16}\cdot3^{16}}{15^{14}}\); в) \(\frac{12^6}{3^5\cdot4^5}\).

а) Используем свойства степеней с одинаковым основанием:

\(3^7\cdot(3^2)^3:3^{10}=3^7\cdot3^6:3^{10}=3^{7+6-10}=3^3=27.\)

б) Возводим степень в степень, затем вычитаем показатели при делении:

\(5^{20}:(5^2)^5:5^8=5^{20}:5^{10}:5^8=5^{20-10-8}=5^2=25.\)

а) Представим 9 как степень числа 3:

\(\frac{9^4}{3^7}=\frac{3^8}{3^7}=3^{8-7}=3.\)

б) Представим числитель и знаменатель степенями числа 2:

\(\frac{8^5}{4^6}=\frac{2^{15}}{2^{12}}=2^3=8.\)

в) Представим все числа степенями числа 3:

\(\frac{27^2\cdot9^4}{81^2}=\frac{3^6\cdot3^8}{3^8}=3^{6+8-8}=3^6=729.\)

а) Используем \(10=2\cdot5\):

\(\frac{10^{12}}{2^6\cdot5^6}=\frac{(2\cdot5)^{12}}{2^6\cdot5^6}=2^{12-6}\cdot5^{12-6}=2^6\cdot5^6=1\,000\,000.\)

б) Сгруппируем множители в числителе:

\(\frac{5^{16}\cdot3^{16}}{15^{14}}=\frac{(5\cdot3)^{16}}{15^{14}}=\frac{15^{16}}{15^{14}}=15^2=225.\)

в) Представим числитель как \((3\cdot4)^6\):

\(\frac{12^6}{3^5\cdot4^5}=\frac{(3\cdot4)^6}{3^5\cdot4^5}=3^{6-5}\cdot4^{6-5}=3\cdot4=12.\)