№3. Из некоторой точки Р к плоскости а (Р не лежит в плоскости а) проведены две наклонные, одна из которых равна 24 см и образует с данной плоскостью угол 30°. Найдите длину второй наклонной, сли её проекция на данную плоскость равна 5 см.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства прямоугольных треугольников, образуемых наклонными, их проекциями и перпендикуляром, опущенным из точки P на плоскость. В прямоугольном треугольнике, синус угла между наклонной и плоскостью равен отношению длины перпендикуляра к длине наклонной, а также отношение длины проекции к длине наклонной равно косинусу этого угла.

Пошаговое решение:

• Пусть $$P$$ — точка, $$a$$ — плоскость. $$PH$$ — перпендикуляр из $$P$$ на плоскость $$a$$. $$PB$$ — наклонная длиной 24 см. $$HB$$ — проекция наклонной $$PB$$ на плоскость $$a$$. Угол между наклонной $$PB$$ и плоскостью $$a$$ равен $$\beta = 30^\text{°}$$.
• В прямоугольном треугольнике $$PHB$$:
• $$\text{sin}(\beta) = \frac{PH}{PB}$$
• $$PH = PB · \text{sin}(\beta)$$
• $$PH = 24 · \text{sin}(30^\text{°})$$
• $$PH = 24 · 0.5 = 12$$ см.
• Теперь рассмотрим вторую наклонную, пусть это будет $$PC$$. Её проекция на плоскость $$a$$ равна $$HC = 5$$ см.
• $$PH$$ является перпендикуляром к плоскости $$a$$, значит, $$PH$$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $$a$$, проходящей через $$H$$, в том числе и $$HC$$.
• В прямоугольном треугольнике $$PHC$$:
• $$PC^2 = PH^2 + HC^2$$
• $$PC^2 = 12^2 + 5^2$$
• $$PC^2 = 144 + 25$$
• $$PC^2 = 169$$
• $$PC = √{169}$$
• $$PC = 13$$ см.

Ответ: Длина второй наклонной равна 13 см.