3. Из середины М основания АС равнобедренного треугольника АВС опущены перпендикуляры МК и МР на его стороны. Докажите, что МК = MP.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС. М — середина основания АС.

Проведём отрезки МК ⊥ АВ и МР ⊥ ВС.

Нам нужно доказать, что МК = МР.

Рассмотрим треугольники АМК и СМР.

• AM = MC (по условию, так как М — середина АС).
• ∠AKM = ∠CPM = 90° (по построению, так как МК и МР — перпендикуляры).
• ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника АВС равны).

Поскольку треугольник АМК прямоугольный, то ∠AMK = 90° - ∠A.

Поскольку треугольник СМР прямоугольный, то ∠CMP = 90° - ∠C.

Так как ∠A = ∠C, то ∠AMK = ∠CMP.

Из этого следует, что треугольники АМК и СМР равны по второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по острому углу и стороне, прилежащей к нему).

Поскольку треугольники равны, то их соответствующие стороны равны. Следовательно, МК = MP.

Что и требовалось доказать.