3. Из точки A, лежащей на окружности, проведены хорды AB = 8 см и AC = 4√3 см. Найдите углы треугольника ABC и радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 2 см.

Обозначим через M и N середины хорд AB и AC. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому он параллелен BC и равен половине этой стороны:

MN = BC / 2, значит BC = 2 · 2 = 4 см.

Стороны треугольника: AB = 8 см, AC = 4√3 см, BC = 4 см. По теореме косинусов для угла A:

cos A = (AB² + AC² − BC²) / (2 · AB · AC) = (64 + 48 − 16) / (64√3) = √3 / 2, поэтому ∠A = 30°.

Для угла B:

cos B = (AB² + BC² − AC²) / (2 · AB · BC) = (64 + 16 − 48) / 64 = 1 / 2, поэтому ∠B = 60°.

Тогда ∠C = 180° − 30° − 60° = 90°.

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Гипотенуза AB = 8 см, следовательно, R = 8 / 2 = 4 см.

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°; радиус окружности — 4 см.