3. Из точки \(A\), лежащей на окружности, проведены хорды \(AB=8\) см и \(AC=4\sqrt3\) см. Найдите углы треугольника \(ABC\) и радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 2 см.

Пусть \(M\) и \(N\) — середины хорд \(AB\) и \(AC\). В треугольнике \(ABC\) отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине:

\[MN=\frac{BC}{2}.\]

Так как \(MN=2\) см, получаем:

\[BC=4\text{ см}.\]

Теперь стороны треугольника равны:

\[AB=8,\qquad AC=4\sqrt3,\qquad BC=4.\]

Найдём угол \(A\) по теореме косинусов:

\[\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{64+48-16}{2\cdot8\cdot4\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}.\]

Следовательно, \(A=30^\circ\).

Сторона \(AB=8\) см — наибольшая, значит, угол \(C\), лежащий напротив неё, наибольший. Из теоремы синусов:

\[\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A},\qquad \sin B=\frac{4\sqrt3\cdot\sin30^\circ}{4}=\frac{\sqrt3}{2}.\]

Так как угол \(C\) должен быть наибольшим, \(B=60^\circ\), а \(C=90^\circ\).

Радиус описанной окружности найдём по формуле \(AB=2R\sin C\):

\[8=2R\cdot1,\qquad R=4\text{ см}.\]

Ответ: \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(\angle C=90^\circ\); \(R=4\) см.