3) Из точки К к окружности с центром в точке О проведены касательные КМ и KN (точки М и N лежат на окружности), длина отрезка КО 10 см, угол MON равен 120°. Найти радиус окружности.

Решение:

1. Анализ задачи: У нас есть окружность с центром О. Из точки К к окружности проведены касательные КМ и KN. Длина отрезка КО равна 10 см, а угол MON равен 120°. Нам нужно найти радиус окружности (ОМ или ON).
2. Свойства касательных: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, углы ОМК и ONK равны 90°.
3. Треугольник MON: Треугольник MON является равнобедренным, так как ОМ и ON – радиусы окружности. Угол MON равен 120°.
4. Углы в треугольнике MON: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Углы ОMN и ONM равны \[ (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \]
5. Треугольник OMK: Треугольник OMK является прямоугольным (угол OMK = 90°). Мы знаем, что угол MON = 120°, а биссектриса угла MON (КО) делит его пополам, поэтому угол MOK = 120° / 2 = 60°.
6. Применение тригонометрии: В прямоугольном треугольнике OMK, мы знаем гипотенузу КО = 10 см и угол MOK = 60°. Радиус ОМ является катетом, прилежащим к углу MOK.
7. Вычисление радиуса: Используем косинус угла MOK: \[ \cos(\angle MOK) = \frac{OM}{KO} \] \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{OM}{10} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{OM}{10} \] \[ OM = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \]

Ответ: Радиус окружности равен 5 см.