3. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 5, проведены две наклонные под углом 45° к плоскости, а их проекции составляют между собой угол 120°. Вычислите расстояние между концами наклонных.

Пусть O — проекция точки на плоскость, а A и B — концы наклонных. У каждой наклонной высота над плоскостью равна 5.

1. Для каждой наклонной длина её проекции на плоскость равна \(r=\frac{5}{\tan45^\circ}=5\).

2. Проекции образуют угол 120°. По теореме косинусов расстояние между их концами в плоскости:

\(AB^2=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cos120^\circ=75\).

Разность высот концов наклонных равна нулю, поэтому пространственное расстояние между ними совпадает с расстоянием между проекциями.

Ответ: \(AB=5\sqrt3\).