3. Из центра O круга радиуса, равного 3 дм, восставлен перпендикуляр OB к его плоскости. К окружности проведена касательная в точке А, и на этой касательной отложен от точки касания отрезок АС, равный 2 дм. Найти длину наклонной ВС, если OB=6 дм.

Решение:

Дано:

• Радиус окружности \( OA = 3 \) дм.
• Перпендикуляр \( OB = 6 \) дм.
• Отрезок \( AC = 2 \) дм.

Найти:

• Длину наклонной \( BC \).

Ход решения:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAC \). Так как \( OA \) — радиус, а \( AC \) — отрезок на касательной, то \( \triangle OAC \) является прямоугольным треугольником с прямым углом \( \triangle OAC = 90^\circ \).
2. Найдем длину \( OC \) по теореме Пифагора: \( OC^2 = OA^2 + AC^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \). Следовательно, \( OC = √{13} \) дм.
3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OBC \). \( OB \) — перпендикуляр к плоскости, значит, \( \triangle OBC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \triangle OBC = 90^\circ \).
4. Найдем длину наклонной \( BC \) по теореме Пифагора: \( BC^2 = OB^2 + OC^2 = 6^2 + (√{13})^2 = 36 + 13 = 49 \).
5. Извлекаем квадратный корень: \( BC = √{49} = 7 \) дм.

Ответ: 7 дм.