3. Из центра окружности О к хорде АВ проведен перпендикуляр ОС. Найдите его длину, если диаметр окружности равен 104 см и ∠OBA = 30°.

Решение:

1. Дано:
• Окружность с центром \( O \)
• Хорда \( AB \)
• \( OC \perp AB \)
• Диаметр \( d = 104 \text{ см} \)
• \( \angle OBA = 30^{\circ} \)
2. Найти: \( OC \)
3. Решение:
• Радиус окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{104}{2} = 52 \text{ см} \).
• \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, значит \( OA = OB = 52 \text{ см} \).
• Рассмотрим \( \triangle OAB \). Так как \( OA = OB \), то \( \triangle OAB \) — равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA = 30^{\circ} \).
• \( OC \) — перпендикуляр к хорде \( AB \). В равнобедренном треугольнике \( \triangle OAB \) высота \( OC \) к основанию \( AB \) также является медианой и биссектрисой.
• Рассмотрим прямоугольный \( \triangle OCB \) (так как \( OC \perp AB \), то \( \angle OCB = 90^{\circ} \)).
• В \( \triangle OCB \):
• Гипотенуза \( OB = 52 \text{ см} \).
• Угол \( \angle OBA = 30^{\circ} \).
• Нам нужно найти катет \( OC \), который лежит напротив угла \( \angle OBA \).
• Используем синус угла: \( \sin(\angle OBA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).
• \( \sin(30^{\circ}) = \frac{OC}{OB} \).
• Известно, что \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \).
• \( 0.5 = \frac{OC}{52} \).
• \( OC = 0.5 \cdot 52 = 26 \text{ см} \).

Ответ: Длина перпендикуляра ОС равна 26 см.