№ 3. Из вершины тупого угла B параллелограмма ABCD опущены перпендикуляры BK и BL на прямые AD и CD соответственно, а из вершины D — перпендикуляры DM и DN на прямые BC и AB соответственно. Найдите угол KLM в градусах.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{BA}=u\), \(\overrightarrow{BC}=v\), где \(u\cdot v=q\), \(|u|^2=a\), \(|v|^2=c\). Тогда \(D=u+v\).

1. Так как \(BK\perp AD\), точка \(K\) — проекция начала координат на прямую \(u+tv\). Поэтому \(K=u-\frac{q}{c}v\).
2. Аналогично, поскольку \(BL\perp CD\), получаем \(L=v-\frac{q}{a}u\).
3. Из \(DM\perp BC\) следует, что \(M\) — проекция \(D=u+v\) на прямую \(BC\): \(M=(1+\frac{q}{c})v\).
4. Тогда \(\overrightarrow{LK}=K-L=(1+\frac{q}{a})u-(1+\frac{q}{c})v\), а \(\overrightarrow{LM}=M-L=\frac{q}{a}u+v\). Их скалярное произведение равно нулю: \(\overrightarrow{LK}\cdot\overrightarrow{LM}=q(1+\frac{q}{a})-(1+\frac{q}{c})(q+c)=0\).

Значит, \(LK\perp LM\).

Ответ: 90°.