3. Изобразите три разных графа, у которых четыре ребра, четыре вершины. Найдите сумму степеней вершин каждого графа.

Решение:

Построим три разных графа с 4 вершинами и 4 ребрами:

Граф 1:

Четыре вершины, четыре ребра. Например, граф, где одна вершина имеет степень 3, а три другие — степень 1, 1, 2.

Сумма степеней вершин: \( 3 + 1 + 2 + 1 = 7 \). Ошибка в рассуждении, сумма степеней должна быть 2*4 = 8.

Граф 1 (исправлено):

Четыре вершины, четыре ребра. Граф в виде цикла с одним дополнительным ребром, соединяющим две несмежные вершины.

Степени вершин: 1:3, 2:2, 3:2, 4:1. Сумма степеней: \( 3 + 2 + 2 + 1 = 8 \).

Граф 2:

Четыре вершины, четыре ребра. Граф в виде цикла и одной вершины, соединенной с одной из вершин цикла.

Степени вершин: 1:2, 2:2, 3:2, 4:2. Это цикл из 4 вершин, с лишним ребром. Это ошибка. Цикл из 4 вершин имеет 4 ребра. Добавим еще одну вершину, соединенную с одной из вершин цикла.

Граф 2 (исправлено):

Цикл из 3 вершин и одна вершина, соединенная с одной из вершин цикла, плюс еще одно ребро, например, между двумя вершинами цикла.

Степени вершин: 1:2, 2:3, 3:2, 4:1. Сумма степеней: \( 2 + 3 + 2 + 1 = 8 \).

Граф 3:

Четыре вершины, четыре ребра. Две вершины степени 2, две вершины степени 1.

Степени вершин: 1:2, 2:2, 3:2, 4:2. Это ошибка, нужно 4 ребра. Давайте сделаем так: три вершины соединены между собой, и четвертая вершина соединена с одной из них.

Граф 3 (исправлено):

Три вершины соединены в цикл, четвертая вершина соединена с одной из вершин цикла.

Степени вершин: 1:2, 2:2, 3:2, 4:2. Это граф с 4 вершинами и 4 ребрами. Sum of degrees = 8.

Согласно теореме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер. В нашем случае ребер 4, значит, сумма степеней должна быть \( 2 \times 4 = 8 \).

Ответ: Сумма степеней вершин каждого графа равна 8.