3. К окружности с центром О проведена касательная DK (K — точка касания). Найдите отрезок DK, если радиус окружности равен 8 см и ZDOK = 45°.

3. Нахождение отрезка касательной

Дано: Окружность с центром О, радиус r = 8 см, DK — касательная, K — точка касания, \( \angle DOK = 45^{\circ} \).

Найти: DK.

Решение:

Так как DK — касательная к окружности в точке K, то радиус OK перпендикулярен касательной DK. Следовательно, \( \triangle DOK \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle DKO = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle DOK \):

\( OK = r = 8 \) см (катет, прилежащий к углу \( \angle DOK \)).

\( DK \) — другой катет.

Используем тригонометрические соотношения:

\( \text{tg}(\angle DOK) = \frac{DK}{OK} \)

\( \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{DK}{8 \text{ см}} \)

Так как \( \text{tg}(45^{\circ}) = 1 \), получаем:

\( 1 = \frac{DK}{8 \text{ см}} \)

\( DK = 1 \cdot 8 \text{ см} = 8 \text{ см} \)

Ответ: DK = 8 см.