3. Касательная к графику функции f(x) = 2x³ – 3х² – 4 параллельна прямой у = 12х + 1. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

1. Так как касательная параллельна прямой \( y = 12x + 1 \), их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой \( y = 12x + 1 \) равен 12.
2. Угловой коэффициент касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равен значению производной \( f'(x_0) \).
3. Найдем производную функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4 \): \( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 4) \).
4. \( f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 6x^2 - 6x \).
5. Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной: \( 6x^2 - 6x = 12 \).
6. Решим полученное квадратное уравнение: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \).
7. Разделим обе части на 6: \( x^2 - x - 2 = 0 \).
8. Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
9. Найдем корни уравнения: \( x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
10. \( x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
11. Абсцисса точки касания может быть равна 2 или -1.

Ответ: 2 и -1.