3 Log_2 (9 - 2x) = 3 Log_2 (3 - x)

Решение:

Данное уравнение:

\( \log_2(9 - 2x) = 3 \log_2(3 - x) \)

Применим свойство логарифма \( a \log_b c = \log_b c^a \):

\( \log_2(9 - 2x) = \log_2((3 - x)^3) \)

Поскольку основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\( 9 - 2x = (3 - x)^3 \)

Раскроем скобки в правой части:

\( (3 - x)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 - x^3 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3 \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 9 - 2x = 27 - 27x + 9x^2 - x^3 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^3 - 9x^2 + 27x - 2x + 9 - 27 = 0 \)

\( x^3 - 9x^2 + 25x - 18 = 0 \)

Теперь нам нужно найти корни этого кубического уравнения. Проверим целочисленные делители свободного члена -18: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18 \).

Проверим \( x = 1 \): \( 1^3 - 9(1)^2 + 25(1) - 18 = 1 - 9 + 25 - 18 = -1 \) (не корень).

Проверим \( x = 2 \): \( 2^3 - 9(2)^2 + 25(2) - 18 = 8 - 9(4) + 50 - 18 = 8 - 36 + 50 - 18 = 58 - 54 = 4 \) (не корень).

Проверим \( x = 3 \): \( 3^3 - 9(3)^2 + 25(3) - 18 = 27 - 9(9) + 75 - 18 = 27 - 81 + 75 - 18 = 102 - 99 = 3 \) (не корень).

Проверим \( x = 6 \): \( 6^3 - 9(6)^2 + 25(6) - 18 = 216 - 9(36) + 150 - 18 = 216 - 324 + 150 - 18 = 366 - 342 = 24 \) (не корень).

Давайте проверим условия существования логарифмов:

\( 9 - 2x > 0 \implies 2x < 9 \implies x < 4.5 \)

\( 3 - x > 0 \implies x < 3 \)

Итак, нам нужны корни \( x < 3 \).

Вернёмся к уравнению \( x^3 - 9x^2 + 25x - 18 = 0 \).

Если бы было \( (3-x)^3 \), то \( x < 3 \).

Попробуем ещё раз корни. Для \( x=1 \), \( 9-2(1) = 7 \), \( 3-1 = 2 \). \( \log_2 7 \neq 3 \log_2 2 = 3 \).

Для \( x=2 \), \( 9-2(2) = 5 \), \( 3-2 = 1 \). \( \log_2 5 \neq 3 \log_2 1 = 0 \).

Заметим, что \( (3 - x)^3 \) раскрывается как \( 27 - 27x + 9x^2 - x^3 \).

Изначально было \( \log_2(9-2x) = 3 \log_2(3-x) \).

Если \( 3-x = 1 \), то \( x=2 \). Тогда \( 9-2(2) = 5 \). \( \log_2 5 = 3 \log_2 1 = 0 \) — неверно.

Если \( 9-2x = (3-x)^3 \).

Может быть, есть ошибка в исходном уравнении, и оно должно быть \( \log_2(9-2x) = \log_2(3-x)^3 \) ?

А если \( \log_2(9-2x) = 3 \log_2(3-x) \) то \( 9-2x = (3-x)^3 \).

Нам нужен корень \( x < 3 \).

Попробуем \( x = 0.5 \): \( 9 - 2(0.5) = 8 \). \( 3 - 0.5 = 2.5 \). \( \log_2 8 = 3 \). \( 3 \log_2 2.5 \). \( \log_2 2.5^3 = \log_2 15.625 \). \( 3 \neq \log_2 15.625 \).

Давайте перепроверим раскрытие скобок и перенос членов:

\( x^3 - 9x^2 + 27x - 27 - 9 + 2x = 0 \)

\( x^3 - 9x^2 + 29x - 36 = 0 \)

Проверим \( x=3 \): \( 27 - 81 + 87 - 36 = 114 - 117 = -3 \).

Проверим \( x = 1 \): \( 1 - 9 + 29 - 36 = 30 - 45 = -15 \).

Проверим \( x = 2 \): \( 8 - 9(4) + 29(2) - 36 = 8 - 36 + 58 - 36 = 66 - 72 = -6 \).

Возможно, исходное уравнение было \( 2 \log_2(9-2x) = 3 \log_2(3-x) \) ?

Если \( \log_2(9-2x) = 3 \log_2(3-x) \), то \( 9-2x = (3-x)^3 \)

Предположим, что \( 3-x=1 \), тогда \( x=2 \). \( 9-2(2)=5 \). \( \log_2 5 \neq 3\log_2 1=0 \).

Предположим, что \( 3-x=2 \), тогда \( x=1 \). \( 9-2(1)=7 \). \( \log_2 7 \neq 3\log_2 2=3 \).

Предположим, что \( 9-2x=1 \), тогда \( 2x=8 \), \( x=4 \). Но \( x < 3 \).

Предположим, что \( 9-2x=8 \), тогда \( 2x=1 \), \( x=0.5 \).

Если \( x=0.5 \): \( \log_2(9-2(0.5)) = \log_2(8) = 3 \).

\( 3\log_2(3-0.5) = 3\log_2(2.5) \).

\( 3\log_2(5/2) = 3(\log_2 5 - \log_2 2) = 3(\log_2 5 - 1) \).

\( 3 \neq 3(\log_2 5 - 1) \).

Пересмотрим кубическое уравнение: \( x^3 - 9x^2 + 25x - 18 = 0 \)

Найдем корень \( x=2 \). \( 8 - 9(4) + 25(2) - 18 = 8 - 36 + 50 - 18 = 4 \).

Найдем корень \( x=1 \). \( 1 - 9 + 25 - 18 = -1 \).

Найдем корень \( x=3 \). \( 27 - 81 + 75 - 18 = 3 \).

Это уравнение имеет вид \( x^3 - 9x^2 + 25x - 18 = 0 \).

Возможная ошибка в условиях, или уравнение не имеет простых решений.

Если \( x=2 \), то \( 9-2(2)=5 \), \( 3-2=1 \). \( \log_2 5 \neq 3\log_2 1 \).

Если \( x=1 \), то \( 9-2(1)=7 \), \( 3-1=2 \). \( \log_2 7 \neq 3\log_2 2=3 \).

Если \( x=0 \), то \( \log_2 9 \neq 3\log_2 3 = \log_2 27 \).

Уравнение \( x^3 - 9x^2 + 25x - 18 = 0 \) не имеет простых целочисленных корней в пределах допустимых значений.

Возможно, в исходном уравнении была ошибка. Если предположить, что \( 9 - 2x = (3 - x)^3 \) и \( x=1 \) является корнем, то \( 7 = (3-1)^3 = 2^3 = 8 \), что неверно.

Если \( x = 2 \), то \( 5 = (3-2)^3 = 1^3 = 1 \), что неверно.

Если \( x = 0.5 \), то \( 8 = (3-0.5)^3 = 2.5^3 = 15.625 \), что неверно.

Возможно, в исходном уравнении есть опечатка. При текущих условиях, решение кубического уравнения \( x^3 - 9x^2 + 25x - 18 = 0 \) не дает простых корней, удовлетворяющих условиям существования логарифмов \( x < 3 \).