№3. Лучи ОС и OD делят развернутый угол АОВ так, что градусная мера угла АОС составляет \( \frac{2}{9} \) градусной меры угла АОВ и \( \frac{4}{11} \) градусной меры угла BOD. Найдите градусную меру угла COD.

Решение:

Развернутый угол АОВ равен \( 180^{\circ} \).

Градусная мера угла АОС равна:

\[ \angle AOC = \frac{2}{9} \times 180^{\circ} = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ} \]

Градусная мера угла АОС также составляет \( \frac{4}{11} \) градусной меры угла BOD. Обозначим меру угла BOD как \( y \).

\[ 40^{\circ} = \frac{4}{11} y \]

\[ y = \frac{40^{\circ} \times 11}{4} \]

\[ y = 10^{\circ} \times 11 \]

\[ y = 110^{\circ} \]

Таким образом, мера угла BOD равна \( 110^{\circ} \).

Угол COD равен разности между развернутым углом АОВ и суммами углов АОС и BOD, но это неверно, так как лучи ОС и OD делят угол. Правильно:

Угол COD является частью развернутого угла АОВ. Мы имеем: \( \angle AOC + \angle COD + \angle DOB = 180^{\circ} \) или \( \angle AOD + \angle DOB = 180^{\circ} \) и \( \angle AOC + \angle COB = 180^{\circ} \).

Исходя из условия, лучи ОС и OD лежат внутри развернутого угла АОВ. Угол АОВ = 180. Если лучи ОС и OD находятся между ОА и ОВ, то \( \angle AOC + \angle COD + \angle DOB = \angle AOB \).

Мы знаем \( \angle AOC = 40^{\circ} \) и \( \angle BOD = 110^{\circ} \).

\( 40^{\circ} + \angle COD + 110^{\circ} = 180^{\circ} \)

\[ \angle COD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 110^{\circ} \]

\[ \angle COD = 180^{\circ} - 150^{\circ} \]

\[ \angle COD = 30^{\circ} \]

Ответ: \( \angle COD = 30^{\circ} \).