3. Медианы грани ACD тетраэдра DABC пересекаются в точке М, а точка К - середина ребра AB. Разложите вектор KM по векторам BA, BC и BD

Решение:

Точка М является центром тяжести грани ACD. Вектор BM = 1/3 (BA + BC + BD).

Точка K - середина ребра AB. Вектор BK = 1/2 BA.

Вектор KM = BM - BK.

\( \vec{KM} = \vec{BM} - \vec{BK} = \frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BD}) - \frac{1}{2}\vec{BA} \)

\( \vec{KM} = \frac{1}{3}\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} + \frac{1}{3}\vec{BD} - \frac{1}{2}\vec{BA} \)

\( \vec{KM} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} + \frac{1}{3}\vec{BD} \)

\( \vec{KM} = (\frac{2-3}{6})\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} + \frac{1}{3}\vec{BD} \)

\( \vec{KM} = -\frac{1}{6}\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} + \frac{1}{3}\vec{BD} \)

Ответ: \( \vec{KM} = -\frac{1}{6}\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} + \frac{1}{3}\vec{BD} \)