3. Мимо светофора проследовал товарный поезд со скоростью 10 м/с. Через полчаса мимо того же светофора в том же направлении проследовал экспресс, скорость которого в 1,5 раза больше, чем у товарного поезда. На каком расстоянии от светофора экспресс нагонит товарный поезд?

Решение:

Сначала найдем скорость экспресса, затем рассчитаем время, которое потребуется экспрессу, чтобы догнать товарный поезд, учитывая задержку товарного поезда.

1. Скорость товарного поезда (\(v_т\)): \(v_т = 10\text{ м/с}\)
2. Скорость экспресса (\(v_э\)): \(v_э = v_т \cdot 1.5 = 10\text{ м/с} \cdot 1.5 = 15\text{ м/с}\)
3. Время движения товарного поезда до появления экспресса: \(t_{задержка} = 30\text{ мин} = 30 \cdot 60\text{ с} = 1800\text{ с}\)
4. Расстояние, которое проехал товарный поезд за это время: \(S_т = v_т \cdot t_{задержка} = 10\text{ м/с} \cdot 1800\text{ с} = 18000\text{ м}\)
5. Пусть \(t\) — время, через которое экспресс нагонит товарный поезд, считая с момента старта экспресса.
6. Расстояние, которое проедет товарный поезд за это время: \(S'_{т} = v_т \cdot t = 10t\)
7. Расстояние, которое проедет экспресс за это время: \(S_э = v_э \cdot t = 15t\)
8. Условие встречи: экспресс догонит товарный поезд, когда расстояние, пройденное экспрессом, будет равно расстоянию, пройденному товарным поездом, плюс начальное расстояние, которое товарный поезд успел проехать: \(S_э = S'_{т} + S_т\)
9. Подстановка и решение уравнения: \(15t = 10t + 18000\)
10. \(15t - 10t = 18000\)
11. \(5t = 18000\)
12. \(t = \frac{18000}{5} = 3600\text{ с}\)
13. Расстояние от светофора, на котором экспресс нагонит товарный поезд: \(S_э = v_э \cdot t = 15\text{ м/с} \cdot 3600\text{ с} = 54000\text{ м}\)
14. Перевод в километры: \(54000\text{ м} = 54\text{ км}\)

Ответ: 54 км