3. Могут ли быть противоположными события С и D, если: a) P(C) = 0,12; P(D) = 0,78; б) P(C) = 0,14; P(D) = 0,86; в) P(C) = a a+b , P(D) = a a+b , где a>0, b>0; г) P(C) = 0,5 + n; P(D) = 0,5 - n, где - 0,5 < n < 0,5?

Решение:

События C и D называются противоположными, если сумма их вероятностей равна 1, то есть \( P(C) + P(D) = 1 \).

Проверим условия для каждого пункта:

1. а) \( P(C) + P(D) = 0,12 + 0,78 = 0,9 \). Так как \( 0,9 \neq 1 \), события C и D не являются противоположными.
2. б) \( P(C) + P(D) = 0,14 + 0,86 = 1 \). Так как \( 1 = 1 \), события C и D могут быть противоположными.
3. в) \( P(C) + P(D) = \frac{a}{a+b} + \frac{a}{a+b} = \frac{2a}{a+b} \). Чтобы \( P(C) + P(D) = 1 \), необходимо, чтобы \( 2a = a+b \), откуда \( a = b \). Если \( a = b \), то \( P(C) = \frac{a}{a+a} = \frac{a}{2a} = 0,5 \) и \( P(D) = \frac{a}{a+a} = \frac{a}{2a} = 0,5 \). В этом случае \( P(C) + P(D) = 0,5 + 0,5 = 1 \). Если \( a \neq b \), то \( P(C) + P(D) \neq 1 \). Условие \( a>0, b>0 \) не гарантирует \( a=b \), поэтому события C и D не всегда противоположные.
4. г) \( P(C) + P(D) = (0,5 + n) + (0,5 - n) = 0,5 + n + 0,5 - n = 1 \). Так как \( 1 = 1 \) при любом \( n \) из указанного диапазона, события C и D могут быть противоположными.

Ответ: События C и D могут быть противоположными в случаях б) и г).