3. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Пошаговое решение:

1. Время движения:
   Лодка отправилась из А в 10:00 и вернулась в 18:00. Общее время в пути составило 18:00 - 10:00 = 8 часов.
2. Время пребывания в пункте В:
   Лодка пробыла в пункте В 2 часа 30 минут, что равно 2.5 часа.
3. Время движения лодки:
   Чистое время движения лодки = Общее время - Время в пункте В = 8 часов - 2.5 часа = 5.5 часов.
4. Скорость лодки по течению:
   Пусть собственная скорость лодки будет $$v$$ км/ч. Скорость лодки по течению (из А в В) будет $$v + 1$$ км/ч (так как скорость течения реки 1 км/ч).
5. Скорость лодки против течения:
   Скорость лодки против течения (из В в А) будет $$v - 1$$ км/ч.
6. Расстояние:
   Расстояние между пунктами А и В составляет 30 км.
7. Уравнение движения:
   Время = Расстояние / Скорость.
   Время в пути из А в В + Время в пути из В в А = Общее время движения.
   \( \frac{30}{v + 1} + \frac{30}{v - 1} = 5.5 \)
8. Решение уравнения:
   Приведем к общему знаменателю: \( \frac{30(v - 1) + 30(v + 1)}{(v + 1)(v - 1)} = 5.5 \)
   \( \frac{30v - 30 + 30v + 30}{v^2 - 1} = 5.5 \)
   \( \frac{60v}{v^2 - 1} = 5.5 \)
   \( 60v = 5.5(v^2 - 1) \)
   \( 60v = 5.5v^2 - 5.5 \)
   \( 5.5v^2 - 60v - 5.5 = 0 \)
   Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \( 11v^2 - 120v - 11 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-120)^2 - 4(11)(-11) = 14400 + 484 = 14884 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{14884} = 122 \)
   \( v_1 = \frac{120 + 122}{2 \cdot 11} = \frac{242}{22} = 11 \)
   \( v_2 = \frac{120 - 122}{2 \cdot 11} = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11} \)
9. Выбор ответа:
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительное значение.

Ответ: 11 км/ч