3. МРКТ — трапеция, МТ ∥ ВС, продолжения боковых сторон пересекаются в точке O. PO = 4, PB = 5, KC = 15, CT = 6 (см. рис. 61). Найдите BM и OK.

Так как BC ∥ MT, треугольники OBC и OMT подобны. На правой стороне: OC = OK + KC = OK + 15, а OT = OC + CT = OK + 21. Поэтому \(\frac{OC}{OT}=\frac{OB}{OM}\).

Пусть \(OK=x\). Тогда \(OC=x+15\), \(OT=x+21\), \(OB=OP+PB=9\), а \(OM=OP+PB+BM=9+BM\). Из подобия также следует, что \(\frac{OP}{OK}=\frac{OB}{OC}\), то есть \(\frac{4}{x}=\frac{9}{x+15}\).

Решаем: \(4(x+15)=9x\), откуда \(x=12\). Значит, \(OK=12\).

Теперь \(\frac{OB}{OM}=\frac{OC}{OT}=\frac{27}{33}=\frac{9}{11}\). Следовательно, \(\frac{9}{9+BM}=\frac{9}{11}\), откуда \(9+BM=11\), значит, \(BM=2\).

Ответ: \(BM=2\), \(OK=12\).