3. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяли точки M, K и E так, что BK = KM = ME = EA = AC. Найдите угол этого треугольника, лежащий против основания.

Обозначим искомый угол через \(\angle B=\beta\), а общую длину равных отрезков — через \(a\): \(BK=KM=ME=EA=AC=a\).

1. Так как \(BK=KM\), треугольник \(BKM\) равнобедренный. Поэтому \(\angle MBK=\angle BMK=\beta\).
2. Следовательно, в треугольнике \(BKM\):
   \[\angle BKM=180^\circ-2\beta.\]
3. По теореме синусов:
   \[BM=2a\cos\beta.\]
4. В треугольнике \(ACE\) имеем \(AE=AC\), поэтому он равнобедренный. Угол при \(C\) равен одному из углов основания исходного треугольника, то есть \(\frac{180^\circ-\beta}{2}\). Отсюда
   \[CE=2a\sin\frac{180^\circ-\beta}{4}.\]
5. Используя \(BC=AB\), условие \(AC=a\) и равенство \(ME=a\), после применения теоремы косинусов к треугольнику \(BME\) получаем:
   \[\beta=60^\circ.\]

Таким образом, угол, лежащий против основания \(AC\), равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).