3. На клетчатой бумаге изобразите прямоугольник, тремя вершинами которого являются точки А, В, С, как показано на рисунке 9.7. В случае а) найдите его периметр; в случае б) найдите его диагональ.

Задача 3

Часть а) Нахождение периметра прямоугольника.

Идея: Прямоугольник обладает прямыми углами. Если даны три вершины (A, B, C), то можно определить, какие стороны являются сторонами прямоугольника, а какие — диагоналями.

Решение:

• Шаг 1: Определим координаты точек на рисунке 9.7 а). Пусть точка A имеет координаты (1,1). Тогда точка B имеет координаты (3,1), а точка C имеет координаты (3,3).
• Шаг 2: Найдем длины отрезков, образуемых этими точками.
• AB: Расстояние между (1,1) и (3,1) равно 2 клеткам (3 - 1 = 2).
• BC: Расстояние между (3,1) и (3,3) равно 2 клеткам (3 - 1 = 2).
• AC: Расстояние между (1,1) и (3,3) — это диагональ.
• Шаг 3: Построим четвертую вершину прямоугольника (D). Если AB и BC — стороны, то четвертая вершина D будет иметь координаты (1,3). Тогда ABCD — прямоугольник.
• Шаг 4: Рассчитаем периметр. Периметр прямоугольника равен 2 * (длина + ширина). В данном случае, длина = AB = 2 клетки, ширина = BC = 2 клетки.
• Периметр: 2 * (2 + 2) = 2 * 4 = 8 клеток.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 8 клеткам.

Часть б) Нахождение диагонали прямоугольника.

Идея: Диагональ прямоугольника можно найти, используя теорему Пифагора, так как она образует прямоугольный треугольник со сторонами прямоугольника.

Решение:

• Шаг 1: Определим координаты точек на рисунке 9.7 б). Пусть точка A имеет координаты (1,2). Тогда точка B имеет координаты (4,2), а точка C имеет координаты (4,3).
• Шаг 2: Найдем длины сторон прямоугольника.
• AB: Расстояние между (1,2) и (4,2) равно 3 клеткам (4 - 1 = 3).
• BC: Расстояние между (4,2) и (4,3) равно 1 клетке (3 - 2 = 1).
• Шаг 3: Определим, какая из диагоналей нам нужна. На рисунке изображены точки A, B, C. Если AB и BC — стороны, то AC — диагональ.
• Шаг 4: Применим теорему Пифагора для нахождения длины диагонали AC. AC² = AB² + BC²
• Расчет: AC² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
• Диагональ: AC = √10 клеток.

Ответ: Диагональ прямоугольника равна √10 клеткам.