3 На клетчатой бумаге расстояние между соседними узлами К и Т равно 3. Вычислите количество узлов этой бумаги, расстояние от которых до точки К больше 1, а до точки Т — больше 3.

Краткая запись:

• Расстояние между соседними узлами (К и Т): 3
• Найти: количество узлов, у которых расстояние до К > 1 и до Т > 3

Пошаговое решение:

1. Определим координаты точек K и T:

   Пусть точка K имеет координаты (0, 0). Поскольку расстояние между соседними узлами равно 3, то точка T будет иметь координаты (3, 0).

2. Найдем узлы, расстояние от которых до K > 1:

   Это все узлы, кроме самого узла K (0, 0) и узлов, расположенных на расстоянии 1 или меньше от K. На клетчатой бумаге, если расстояние между узлами равно 3, то узел K будет иметь координаты (0, 0). Узлы, расстояние от которых до K > 1, это все узлы, кроме самого K. Если бы мы считали по клеткам, то это было бы ограничение. Но так как расстояние между узлами равно 3, мы будем считать точки, имеющие целочисленные координаты, кратные 3.

   Таким образом, мы ищем узлы (x, y), где x и y — целые числа, кратные 3, такие что:

   • $$ \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} > 1 $$
   • $$ \sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} > 3 $$
3. Пересмотрим условие:

   В условии сказано, что расстояние между соседними узлами К и Т равно 3. Это означает, что K и T сами являются узлами, и расстояние между ними – 3 единицы. Если считать, что K и T – это точки на сетке, и расстояние между соседними узлами сетки равно 1, то расстояние между K и T равно 3. То есть, если K = (0,0), то T = (3,0).

   Пересчитаем расстояние между узлами, если одно деление сетки равно 1:

   Точка K=(0,0), Точка T=(3,0).

   Нас интересуют узлы (x, y) такие, что:

   • $$ uзлы (x, y), где x, y ∈ ℤ $$
   • $$ accтояние от (x, y) до K > 1 ↠ v x^2 + y^2 > 1^2 ↠ x^2 + y^2 > 1 $$
   • $$ accтояние от (x, y) до T > 3 ↠ (x-3)^2 + y^2 > 3^2 ↠ (x-3)^2 + y^2 > 9 $$

   Рассмотрим сетку:

   Точка K находится в определенной клетке. Точка T находится в 3 клетках правее от K. Мы должны найти количество узлов (пересечений линий сетки), для которых выполнены оба условия.

   Предположим, что K=(0,0) и T=(3,0) и сетка имеет единичные расстояния между узлами.

   Нас интересуют узлы (x, y), где x и y – целые числа, такие что:

   • $$x^2 + y^2 > 1$$
   • $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$

   Рассмотрим возможные целочисленные координаты (x, y):

   Условие 1: $$x^2 + y^2 > 1$$

   Это означает, что узел не может быть (0,0), (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1).

   Условие 2: $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$

   Это означает, что узел не может быть (3,0), (3,1), (3,-1), (4,0), (2,0).

   Объединяем условия и ищем узлы:

   Если K = (0,0), T = (3,0):

   Узлы, которые мы НЕ должны считать:

   • $$x^2 + y^2 ≤ 1$$: (0,0), (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1).
   • $$(x-3)^2 + y^2 ≤ 9$$: (3,0), (4,0), (2,0), (3,1), (3,-1), (3,2), (3,-2), (3,3), (3,-3), (5,0), (1,0).

   Теперь будем строить и считать, предполагая, что сетка бесконечна, но мы находимся в пределах видимого квадрата сетки на изображении.

   На изображении:

   Точка K и точка T находятся на одной горизонтальной линии. Расстояние между ними составляет 3 клетки. Это значит, что расстояние между соседними узлами сетки равно 1.

   Примем координаты K как (0,0).

   Тогда координаты T будут (3,0).

   Нас интересуют узлы (x,y), где x и y – целые числа, удовлетворяющие условиям:

   • $$x^2 + y^2 > 1$$
   • $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$

   Анализируем условие $$x^2 + y^2 > 1$$ (расстояние до K > 1):

   Это исключает узлы:

   • (0,0) - расстояние 0
   • (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) - расстояние 1

   Анализируем условие $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$ (расстояние до T > 3):

   Это исключает узлы:

   • (3,0) - расстояние 0
   • (4,0), (2,0) - расстояние 1
   • (5,0), (1,0) - расстояние 2
   • (6,0), (0,0) - расстояние 3
   • (3,1), (3,-1) - расстояние 1
   • (3,2), (3,-2) - расстояние $$ v9+4 = v13 > 3 $$
   • (3,3), (3,-3) - расстояние $$ v9+9 = v18 > 3 $$
   • (x-3)^2 + y^2 ≤ 9

   Рассмотрим узлы, которые попадают в круги:

   Круг 1 (центр K=(0,0), радиус 1): (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1).

   Круг 2 (центр T=(3,0), радиус 3): (3,0), (4,0), (2,0), (5,0), (1,0), (6,0), (0,0), (3,1), (3,-1), (3,2), (3,-2), (3,3), (3,-3).

   Нас интересуют узлы, НЕ находящиеся в этих кругах.

   Начнем с узлов, удовлетворяющих первому условию ($$x^2 + y^2 > 1$$):

   Исключаем: (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1).

   Теперь проверяем оставшиеся узлы на второе условие ($$(x-3)^2 + y^2 > 9$$):

   Рассмотрим узлы, которые ИСКЛЮЧАЮТСЯ из второго условия ($$(x-3)^2 + y^2 ≤ 9$$):

   (3,0), (4,0), (2,0), (5,0), (1,0), (6,0), (0,0), (3,1), (3,-1), (3,2), (3,-2), (3,3), (3,-3).

   Исключаем из всех возможных узлов те, что удовлетворяют $$x^2 + y^2 ≤ 1$$ ИЛИ $$(x-3)^2 + y^2 ≤ 9$$.

   Ищем узлы (x,y) такие, что:

   $$x^2 + y^2 > 1$$ И $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$

   Рассмотрим узлы в пределах сетки, видимой на картинке.

   На картинке:

   K находится на 2-й вертикали и 4-й горизонтали (сверху).

   T находится на 5-й вертикали и 4-й горизонтали.

   Расстояние между K и T = 3 клетки.

   Пусть K = (0,0). T = (3,0).

   Узлы, которые должны быть исключены:

   1. Расстояние до K ≤ 1: (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1).

   2. Расстояние до T ≤ 3: (3,0), (4,0), (2,0), (5,0), (1,0), (6,0), (0,0), (3,1), (3,-1), (3,2), (3,-2), (3,3), (3,-3).

   Объединяем исключаемые узлы:

   {(0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1), (3,0), (4,0), (2,0), (5,0), (6,0), (3,1), (3,-1), (3,2), (3,-2), (3,3), (3,-3)}

   Теперь найдем узлы, которые удовлетворяют обоим условиям.

   Начнем с узлов, близких к K и T, и будем проверять.

   Узлы, которые НЕ удовлетворяют первому условию ($$x^2 + y^2 ≤ 1$$):

   (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1).

   Узлы, которые НЕ удовлетворяют второму условию ($$(x-3)^2 + y^2 ≤ 9$$):

   (3,0), (4,0), (2,0), (5,0), (1,0), (6,0), (0,0), (3,1), (3,-1), (3,2), (3,-2), (3,3), (3,-3).

   Нас интересуют узлы, для которых $$x^2 + y^2 > 1$$ И $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$.

   Проверим узлы, видимые на сетке.

   Сетка выглядит примерно так ( K=(0,0), T=(3,0) ):

   x = -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

   y=3 . . . . . . .

   y=2 . . . . . . .

   y=1 . . . . . . .

   y=0 . . K . . T . . .

   y=-1 . . . . . . .

   y=-2 . . . . . . .

   y=-3 . . . . . . .

   Рассмотрим точки, которые НЕ подходят:

   • K=(0,0): dist K = 0 (не > 1), dist T = 3 (не > 3).
   • (1,0): dist K = 1 (не > 1), dist T = 2 (не > 3).
   • (-1,0): dist K = 1 (не > 1), dist T = 4 ( > 3).
   • (0,1): dist K = 1 (не > 1), dist T = $$ v(0-3)^2 + 1^2 = v9+1 = v10 $$ ( > 3).
   • (0,-1): dist K = 1 (не > 1), dist T = $$ v(0-3)^2 + (-1)^2 = v9+1 = v10 $$ ( > 3).
   • T=(3,0): dist K = 3 ( > 1), dist T = 0 (не > 3).
   • (2,0): dist K = 2 ( > 1), dist T = 1 (не > 3).
   • (4,0): dist K = 4 ( > 1), dist T = 1 (не > 3).
   • (5,0): dist K = 5 ( > 1), dist T = 2 (не > 3).
   • (6,0): dist K = 6 ( > 1), dist T = 3 (не > 3).
   • (3,1): dist K = $$ v(3-0)^2 + 1^2 = v9+1 = v10 $$ ( > 1), dist T = 1 (не > 3).
   • (3,-1): dist K = $$ v(3-0)^2 + (-1)^2 = v9+1 = v10 $$ ( > 1), dist T = 1 (не > 3).
   • (3,2): dist K = $$ v(3-0)^2 + 2^2 = v9+4 = v13 $$ ( > 1), dist T = 2 (не > 3).
   • (3,-2): dist K = $$ v(3-0)^2 + (-2)^2 = v9+4 = v13 $$ ( > 1), dist T = 2 (не > 3).
   • (3,3): dist K = $$ v(3-0)^2 + 3^2 = v9+9 = v18 $$ ( > 1), dist T = 3 (не > 3).
   • (3,-3): dist K = $$ v(3-0)^2 + (-3)^2 = v9+9 = v18 $$ ( > 1), dist T = 3 (не > 3).

   Теперь рассмотрим узлы, которые удовлетворяют ОБОИМ условиям.

   Узлы, где $$x^2 + y^2 > 1$$ И $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$

   Рассмотрим узлы, которые НЕ попали в исключенные списки.

   Узлы, удовлетворяющие $$x^2+y^2 > 1$$: Все узлы, кроме (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1).

   Узлы, удовлетворяющие $$(x-3)^2 + y^2 > 9$$: Все узлы, кроме (3,0), (4,0), (2,0), (5,0), (1,0), (6,0), (0,0), (3,1), (3,-1), (3,2), (3,-2), (3,3), (3,-3).

   Совмещаем:

   Нам нужны узлы, которые присутствуют в первом списке