3 На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги АВ равна 99. Найдите длину большей дуги.

Решение:

• Длина дуги окружности вычисляется по формуле: $$L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$$, где R — радиус окружности, а $$\alpha$$ — центральный угол, соответствующий дуге.
• Нам дана длина меньшей дуги AB, которая составляет 99 единиц, и соответствующий центральный угол ∠AOB = 66°.
• Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти радиус окружности R:
• $$99 = \frac{\pi R \cdot 66^{\circ}}{180^{\circ}}$$
• $$R = \frac{99 \cdot 180^{\circ}}{66^{\circ} \cdot \pi} = \frac{3 \cdot 180^{\circ}}{2 \cdot \pi} = \frac{540^{\circ}}{2 \cdot \pi} = \frac{270^{\circ}}{\pi}$$
• Теперь, когда мы знаем радиус, мы можем найти длину большей дуги AB. Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен $$360^{\circ} - 66^{\circ} = 294^{\circ}$$.
• Длина большей дуги AB:
• $$L_{большая} = \frac{\pi R \cdot 294^{\circ}}{180^{\circ}}$$
• Подставляем найденное значение R:
• $$L_{большая} = \frac{\pi \cdot \frac{270^{\circ}}{\pi} \cdot 294^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{270^{\circ} \cdot 294^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{3 \cdot 294^{\circ}}{2} = 3 \cdot 147^{\circ} = 441^{\circ}$$

Ответ: 441