3. На окружности с центром О последовательно отмечены точки А, В, С, D, К так, что точки А и К являются концами диаметра, углы АОВ= 30°, угол DOK=60°. Докажите, что BD=AC.

Решение:

1. Угол АОВ = 30° (дано).
2. Угол DOK = 60° (дано).
3. Угол AOC = Угол COK (дано).
4. Точки А и К — концы диаметра, значит, угол АОК — развернутый (180°).
5. Поскольку углы AOC и COK равны, и их сумма равна углу АОК, то угол AOC = угол COK = 180° / 2 = 90°.
6. Найдем угол BOC: Угол BOC = Угол AOC - Угол AOB = 90° - 30° = 60°.
7. Найдем угол COD: Угол COD = Угол COK - Угол DOK = 90° - 60° = 30°.
8. Рассмотрим треугольники BOD и AOC.
• OB = OD = OA = OC (радиусы окружности).
• Угол BOD = Угол BOC + Угол COD = 60° + 30° = 90°.
• Угол AOC = 90° (найдено ранее).
9. Треугольники BOD и AOC — равнобедренные (OB=OD, OA=OC).
10. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
11. Следовательно, треугольник BOD = треугольнику AOC.
12. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BD = AC.

Доказано.