3)На плоскости даны четыре прямые. Известно, что \( \angle 1 = 120^{\circ}, \angle 2 = 60^{\circ}, \angle 3 = 55^{\circ} \). Найдите \( \angle 4 \). Ответ дайте в градусах.

Решение:

На чертеже видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются смежными углами, так как они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle 1 + \angle 2 = 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \). Это подтверждает, что они смежные.

\( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — это углы, образованные при пересечении трех прямых.

\( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) являются накрест лежащими углами при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, если бы они были параллельны. Однако, по условию, \( \angle 2 = 60^{\circ} \) и \( \angle 1 = 120^{\circ} \).

Рассмотрим прямые, образующие \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \).

Угол, вертикальный к \( \angle 3 \), равен \( 55^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle 1 = 120^{\circ} \).

На чертеже видно, что \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) являются накрест лежащими углами при пересечении двух прямых (верхней и нижней) третьей прямой (наклонной).

Если бы верхняя и нижняя прямые были параллельны, то \( \angle 2 \) было бы равно \( \angle 4 \) (как накрест лежащие). Но \( \angle 2 = 60^{\circ} \).

Рассмотрим углы, образованные третьей (наклонной) прямой с двумя горизонтальными прямыми.

Угол \( \angle 1 \) и внутренний односторонний угол с \( \angle 4 \) в сумме должны давать \( 180^{\circ} \), если бы горизонтальные прямые были параллельны.

Угол \( \angle 2 \) и внутренний односторонний угол с \( \angle 4 \) в сумме должны давать \( 180^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 60^{\circ} \). Угол \( \angle 4 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \), составляют \( 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

На чертеже угол \( \angle 4 \) и угол, смежный с \( \angle 1 \) (т.е. \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)) должны быть равны, если бы горизонтальные прямые были параллельны.

Угол \( \angle 4 \) и угол \( \angle 2 \) являются накрест лежащими углами. Если бы две горизонтальные прямые были параллельны, то \( \angle 4 = \angle 2 \).

Из чертежа видно, что \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) накрест лежащие. Угол \( \angle 3 \) и угол, смежный с \( \angle 4 \) являются соответственными.

Угол, смежный с \( \angle 3 \) равен \( 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 60^{\circ} \).

Если две горизонтальные прямые параллельны, то соответственные углы равны. Угол \( \angle 3 = 55^{\circ} \). Угол, соответствующий \( \angle 3 \) на нижней прямой, будет \( 55^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 60^{\circ} \) и угол \( \angle 4 \) являются накрест лежащими. Если бы верхняя и нижняя прямые были параллельны, то \( \angle 4 = \angle 2 \).

Проверим условие параллельности. Если бы две нижние прямые были параллельны, то сумма односторонних углов была бы \( 180^{\circ} \).

Рассмотрим другую пару углов. Угол \( \angle 1 \) и угол \( \angle 4 \) являются внутренними односторонними, если считать, что две горизонтальные прямые параллельны.

\( \angle 1 = 120^{\circ} \). Внутренний односторонний угол к \( \angle 1 \) на нижней прямой будет \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

На чертеже угол \( \angle 4 \) является накрест лежащим углом к \( \angle 2 \).

Угол, вертикальный к \( \angle 3 \), равен \( 55^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle 4 \) и \( \angle 2 \) являются накрест лежащими. Если бы две горизонтальные прямые были параллельны, то \( \angle 4 = \angle 2 = 60^{\circ} \).

Но мы имеем \( \angle 3 = 55^{\circ} \).

Рассмотрим углы, образованные пересечением трех прямых. Угол \( \angle 2 \) и угол, смежный с \( \angle 4 \), в сумме должны дать \( 180^{\circ} \), если две горизонтальные прямые параллельны.

Угол \( \angle 1 = 120^{\circ} \). Угол \( \angle 4 \) и угол \( \angle 2 \) являются накрест лежащими.

Угол, смежный с \( \angle 1 \) равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \). Этот угол является соответственным углу \( \angle 2 \).

Так как \( \angle 2 = 60^{\circ} \) и соответственный ему угол равен \( 60^{\circ} \), то две горизонтальные прямые параллельны.

Теперь, когда мы знаем, что две горизонтальные прямые параллельны, \( \angle 4 \) и \( \angle 2 \) являются накрест лежащими углами.

Следовательно, \( \angle 4 = \angle 2 \).

\( \angle 4 = 60^{\circ} \).

Ответ: \( 60^{\circ} \).