3. На рисунке ∠1 = 82°, ∠2 = = 98°, ∠3 = 65°. Найдите угол 4.

Решение:

На рисунке прямые a и b параллельны, так как они пересечены третьей прямой, и сумма односторонних углов \( \angle 1 + \angle 2 = 82^{\circ} + 98^{\circ} = 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние углы при параллельных прямых.

Угол \( \angle 3 \) и угол, смежный с \( \angle 1 \), являются накрест лежащими углами при параллельных прямых a и b и секущей. Поэтому угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

Угол \( \angle 4 \) и угол \( \angle 3 \) являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых a и b и секущей. Следовательно, \( \angle 4 = \angle 3 \).

В условии дана неверная информация: \( \angle 2 = 98^{\circ} \) и \( \angle 3 = 65^{\circ} \). Если \( \angle 1 = 82^{\circ} \) и \( \angle 2 = 98^{\circ} \), то прямые параллельны. Тогда \( \angle 4 \) и \( \angle 3 \) должны быть равны как накрест лежащие углы. Но \( \angle 3 = 65^{\circ} \).

Рассмотрим случай, если \( \angle 1 = 82^{\circ} \) и \( \angle 3 = 65^{\circ} \) и нужно найти \( \angle 4 \).

Если \( \angle 1 = 82^{\circ} \) и \( \angle 2 = 98^{\circ} \), то прямые параллельны. Угол \( \angle 4 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими, поэтому \( \angle 4 = \angle 3 \).

Если \( \angle 1 = 82^{\circ} \) и \( \angle 3 = 65^{\circ} \), и прямые параллельны, то \( \angle 4 = \angle 3 = 65^{\circ} \).

Если \( \angle 2 = 98^{\circ} \) и \( \angle 3 = 65^{\circ} \) и прямые параллельны, то \( \angle 4 = \angle 3 = 65^{\circ} \).

Проверим параллельность прямых по \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \).

Угол, смежный с \( \angle 2 \), равен \( 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) не являются ни накрест лежащими, ни соответственными.

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \) — накрест лежащие углы, а \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — соответственные углы.

Если \( \angle 1 = 82^{\circ} \) и \( \angle 2 = 98^{\circ} \), то \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \), следовательно, верхняя и нижняя прямые параллельны. В этом случае \( \angle 4 \) и \( \angle 3 \) будут накрест лежащими, а значит \( \angle 4 = \angle 3 = 65^{\circ} \).

Ответ: \( \angle 4 = 65^{\circ} \).