3. На рисунке 1 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей A₁DC и BB₁C₁.

Плоскость A₁DC — это плоскость нижней грани куба ABCD, поскольку точки A₁, D и C задают плоскость, параллельную грани ABCD? Проверим: в координатах куба A(0,0,0), D(1,0,0), C(1,1,0), A₁(0,0,1), эти точки некомпланарны с нижней гранью. Плоскость A₁DC содержит ребро DC и диагональ A₁D; плоскость BB₁C₁ является задней гранью.

Зададим вершинам координаты: A(0,0,0), D(1,0,0), C(1,1,0), B(0,1,0), а верхним вершинам — координату z=1. Плоскость BB₁C₁ имеет уравнение y=1. Для плоскости A₁DC найдём уравнение по точкам: A₁(0,0,1), D(1,0,0), C(1,1,0), откуда x+z=1. Пересечение с y=1 задаётся x+z=1, то есть это прямая через B(0,1,0) и C₁(1,1,1).

Ответ: прямая BC₁.