3. На рисунке ABCD — параллелограмм. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Доказать: ABCD — ромб.

Так как ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD и BC ∥ AD. Диагональ AC является секущей.

1. Из AB ∥ CD следует, что накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны.
2. Из BC ∥ AD следует, что накрест лежащие углы ∠3 и ∠4 равны.
3. По условию эти пары равных углов образованы диагональю AC и сторонами параллелограмма. Равенство углов при вершинах A и C означает, что треугольники ABC и CDA имеют равные углы при A и C. У них также общая сторона AC.
4. Треугольники ABC и CDA равны по стороне AC и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AB = CD и BC = AD; кроме того, из соответствия сторон получаем AB = BC.

В параллелограмме равенство соседних сторон означает, что все четыре стороны равны.

Следовательно, ABCD — ромб.