3. На рисунке \(\angle 1 = 37^{\circ}, \angle 3 = 143^{\circ}. Докажите, что \(a \parallel b\), и найдите \(\angle 2\).

Решение:

1. Доказательство параллельности прямых \(a\) и \(b\):

Угол \(\angle 1\) и внутренний накрест лежащий угол при пересечении прямой \(c\) с прямой \(b\) равны. Обозначим этот угол как \(\angle 4\).

Угол \(\angle 3\) и угол \(\angle 4\) являются смежными, то есть их сумма равна \(180^{\circ}\).

\(\angle 4 + \angle 3 = 180^{\circ}\)

\(\angle 4 = 180^{\circ} - \angle 3 = 180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}\)

Так как \(\angle 1 = 37^{\circ}\) и \(\angle 4 = 37^{\circ}\), то \(\angle 1 = \angle 4\).

Углы \(\angle 1\) и \(\angle 4\) являются накрест лежащими углами при прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(c\). Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

\(a \parallel b\)

2. Нахождение \(\angle 2\):

Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются смежными углами, так как они образуют прямую линию.

Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\).

\(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\)

\(\angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1\)

\(\angle 2 = 180^{\circ} - 37^{\circ} = 143^{\circ}\)

Ответ: \(\angle 2 = 143^{\circ}\).