3. На рисунке BD \( \perp \) AC, BO = OD. Докажите, что AB = AD и BC = CD. Найдите \( \angle OBC \), если \( \angle ODC = 65^{\circ} \).

Решение:

1. Доказательство AB = AD и BC = CD:
   • Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle ADO \).
   • \( BO = OD \) (по условию).
   • \( AO \) — общая сторона.
   • \( \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ} \) (так как \( BD \perp AC \)).
   • Следовательно, \( \triangle ABO = \triangle ADO \) по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
   • Из равенства треугольников следует, что \( AB = AD \).
   • Аналогично рассмотрим \( \triangle CBO \) и \( \triangle CDO \).
   • \( BO = OD \) (по условию).
   • \( CO \) — общая сторона.
   • \( \angle COB = \angle COD = 90^{\circ} \) (так как \( BD \perp AC \)).
   • Следовательно, \( \triangle CBO = \triangle CDO \) по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
   • Из равенства треугольников следует, что \( BC = CD \).
2. Нахождение \( \angle OBC \):
   • Мы доказали, что \( \triangle CBO = \triangle CDO \).
   • Из равенства треугольников следует, что \( \angle OBC = \angle ODC \).
   • По условию, \( \angle ODC = 65^{\circ} \).
   • Следовательно, \( \angle OBC = 65^{\circ} \).

Ответ: AB = AD, BC = CD. \( \angle OBC = 65^{\circ} \).