3. На рисунке: \(\cdot\)\(\cdot\)\(\cdot\)\(\cdot\) (обозначения: AA₁ = √2, ∠BAC = 60°, ∠ABC = 30°, BC = 4; найти x = ∠ACB).

В прямоугольном треугольнике AA₁C гипотенуза AC, а ∠AAC₁ = 60°. Поэтому

\(AC=\frac{AA_1}{\cos 60^\circ}=\frac{\sqrt2}{1/2}=2\sqrt2.\)

В треугольнике ABC по теореме синусов:

\(\frac{AC}{\sin 30^\circ}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}\), откуда \(\sin \angle BAC=\frac{4\cdot\sin30^\circ}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}.\)

По рисунку угол A острый, значит \(\angle BAC=45^\circ\). Тогда

\(x=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ.\)

Ответ: \(x=105^\circ\).