3. На рисунке параллелограмм; отрезок, проведённый из вершины к противоположной стороне, делит угол при нижней правой вершине пополам. Верхний отрезок от левой вершины до точки пересечения равен 4, боковая сторона равна 8. Найти нижнюю сторону.

Обозначим нижнюю сторону через b, а боковую — через a. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому верхняя сторона тоже равна b.

Поскольку проведённый отрезок — биссектриса угла, в треугольнике с основанием на нижней стороне по теореме о биссектрисе её пересечение с противоположной стороной делит эту сторону в отношении прилежащих сторон. Для данного параллелограмма это означает, что отрезок верхней стороны слева от точки пересечения равен разности нижней и боковой сторон: b − a.

Подставим данные: b − 8 = 4, откуда b = 12.

Ответ: 12.