Ответ:

Перечислим пути, следуя направлениям стрелок:

  1. А–Б–Д–Ж;
  2. А–Б–Г–Ж;
  3. А–Б–Г–Д–Ж;
  4. А–В–Ж;
  5. А–В–Е–Ж;
  6. А–В–Г–Ж;
  7. А–В–Г–Д–Ж.

Ответ: 7 путей.