3. На сторонах BC и AD прямоугольника ABCD выбраны соответственно точки M и N так, что AMCN — ромб. Найдите BC, если сторона ромба равна 18 см, а ∠ABD = 60°.

Пусть \(AB=w\), а \(BC=h\). Введём координаты: \(A=(0,h)\), \(B=(w,h)\), \(C=(w,0)\), \(D=(0,0)\). Пусть \(M=(w,y)\).

1. В ромбе \(AMCN\) сторона \(MC\) равна 18 см. Так как \(M\) лежит на стороне \(BC\), получаем \(y=MC=18\).
2. Стороны ромба равны, следовательно, \(AM=MC=18\). По формуле расстояния: \(AM^2=w^2+(h-y)^2\). Поэтому \(w^2+(h-18)^2=18^2\).
3. В прямоугольном треугольнике \(ABD\) угол при \(A\) прямой, а \(\angle ABD=60°\). Следовательно, \(\tan 60°=AD/AB=h/w\), откуда \(h=\sqrt3w\).
4. Подставим \(w^2=h^2/3\) и \(y=18\): \(h^2/3+(h-18)^2=324\). После упрощения получаем \(4h^2/3-36h=0\), то есть \(4h(h-27)/3=0\). Так как длина положительна, \(h=27\).

Ответ: \(BC=27\) см.